EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.[quantização de Graceli].

  G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR G+ GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Em mecânica quântica, um propagador é uma função ou distribuição que descreve a amplitude da probabilidade de uma partícula se mover de uma posição para outra. Tecnicamente, é a função de Green para a equação do movimento.

Definição

Partícula não-relativística

O propagador ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$ é uma função ou distribuição que verifica a seguinte equação:

${\displaystyle \left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Aqui ${\displaystyle H}$ é o hamiltoniano e ${\displaystyle \delta }$ é a distribuição dirac.

Por exemplo, considere uma partícula não relativística livre. O propagador, portanto, verifica:

${\displaystyle \left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Para resolver isso, converta em momento- e espaço de frequência :

${\displaystyle (\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m)K(\mathbf {p} ,\omega )=1}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Seguindo-se que:

${\displaystyle K(\mathbf {p} ,\omega )={\frac {1}{\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Converta de volta para posição e espaço-tempo:

${\displaystyle K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t')))K(\mathbf {p} ,\omega )}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

A integral é ambígua, porque tem um pólo em

${\displaystyle \omega =\hbar p^{2}/2m}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal, mas existem dois sinais possíveis (Por isso o propagador não é único). Ao adicionar um infinitesimal pode-se calcular:

${\displaystyle K_{\pm }(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')}$

${\displaystyle =\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t'))){\frac {1}{\hbar \omega \pm \mathrm {i} \epsilon -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}}$

${\displaystyle =\mp {\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\theta (\pm t\mp t')\left({\frac {m}{2\pi \mathrm {i} \hbar (t-t')}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {\mathrm {i} m}{2\hbar (t-t')}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')^{2}\right)}$ , 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde:

${\displaystyle \theta (x)={\begin{cases}1&{\text{se }}x>0\\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Representa a função de Heaviside. A função ${\displaystyle K_{+}}$ chamada de propagador passado (retarded em inglês), porque ${\displaystyle K_{+}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')}$ é diferente de zero apenas se ${\displaystyle t>t'}$. Enquanto isso, a função ${\displaystyle K_{-}}$ é chamada de propagador futuro (advanced em inglês), porque ${\displaystyle K_{-}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')}$ é diferente de zero apenas se ${\displaystyle t<t'}$.

Partícula relativística

Usamos uma convenção de sinalização ${\displaystyle +---}$ para a métrica que, ${\displaystyle x\cdot y=x^{0}y^{0}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }$.

Uma partícula escalar relativística verifica a equação de Klein-Gordon . Daí o propagador ${\displaystyle K(x,y)}$ de uma partícula escalar relativística é definido como a função de Green da equação de Klein-Gordon. Eis:

${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})K(x,y)=-\delta (x-y)}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Para resolver, converte-se em momento linear:

${\displaystyle (p^{2}-m^{2})K(p)=1}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Então:

${\displaystyle K(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Converte-se de volta para o espaço de posição:

${\displaystyle K(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

A integral é ambígua porque tem dois pólos em:

${\displaystyle p^{0}=\pm (\mathbf {p} ^{2}+m^{2})}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal. De acordo com a teoria da integral curvilínea, podemos subir ou descer em cada pólo. Portanto, existem quatro métodos diferentes para eliminar a ambiguidade da integral; o propagador não é único. Se subirmos pelos dois pólos, o passado (em inglês retarded) será encontrado:

${\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}+\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}}$  

${\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}>y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}},\end{cases}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde ${\displaystyle \operatorname {J} _{1}}$ representa a função de Bessel de primeiro tipo e ${\displaystyle s=(x-y)^{2}}$. Se descermos em ambos os pólos, o propagador futuro (advanced) será encontrado:

${\displaystyle K_{\mathrm {A} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}-\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}<y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}}.\end{cases}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Se descermos pelo pólo esquerdo (em ${\displaystyle p^{0}=-{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

e para cima através do pólo direito (em ), O propagador de Feynman será encontrado:

${\displaystyle K_{\mathrm {F} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$

${\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\-\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}^{(1)}}$ representa a função de Hankel de primeiro tipo e ${\displaystyle \operatorname {K} _{1}}$ significa a função modificada de Bessel de segundo tipo. Se subirmos pelo pólo esquerdo e descermos pelo pólo direito, o propagador de Dyson encontrar-se-á:

${\displaystyle K_{\mathrm {D} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}-\mathrm {i} \epsilon }}}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(2)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}^{(2)}}$ representa a função de Hankel do segundo tipo .

Os quatro propagadores verificam as seguintes equações.

${\displaystyle K_{\mathrm {R} }+K_{\mathrm {A} }=K_{\mathrm {F} }+K_{\mathrm {D} }}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x-y)=K_{\mathrm {A} }(y-x)}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle K_{\mathrm {F} }(x-y)=K_{\mathrm {F} }(y-x)=K_{\mathrm {D} }(x-y)^{*}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle K_{\mathrm {D} }(x-y)=K_{\mathrm {D} }(y-x)=K_{\mathrm {F} }(x-y)^{*}}$ .

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Além disso, os propagadores exprimem-se com valores esperados vazios de operadores de campo:

${\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x-y)=-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle }$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle K_{\mathrm {A} }(x-y)=\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle }$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle K_{\mathrm {F} }(x-y)=-\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle =-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle -\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle }$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Partícula com rotação

Para uma partícula dirac ${\displaystyle \psi }$ seguindo a equação de dirac:

${\displaystyle (\gamma \cdot \partial +m)\psi =0}$ , 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

o propagador é definido semelhantemente:

${\displaystyle (\gamma \cdot \partial +m)K(x-y)=\delta (x-y)}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

No momento de espaço:

${\displaystyle K_{\mathrm {F} }(p)={\frac {1}{\gamma \cdot p-m+\mathrm {i} \epsilon }}={\frac {\gamma \cdot p+m}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

para o propagador de Feynman, etc.

Para uma partícula vetoral${\displaystyle A}$ de massa zero (por exemplo, o fóton), existem vários ‘gauges’ possíveis. Um medidor simples é o medidor de Lorenz ${\displaystyle \partial \cdot A=0}$. Portanto, a partícula segue as equações de Maxwell com um termo gaussiano:

${\displaystyle \partial ^{2}A_{\mu }=0}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

O propagador é definido de forma semelhante:

${\displaystyle \partial ^{2}K_{\mu \nu }(x-y)=\delta (x-y)}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

No momento linear do espaço o propagador (de Feynman, etc.) é:

${\displaystyle K_{\mathrm {F} \mu \nu }(p)={\frac {-g_{\mu \nu }}{p^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$ . 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Em física, uma quantização é um procedimento matemático que atribui um valor específico a um sistema físico; assim contrariando a ideia de que determinadas unidades, como energia e carga elétrica, eram continuas.

Definição formal

Concretamente dada a descrição hamiltoniana de um sistema clássico mediante uma variedade simplética ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ pode ser definida^[1] formalmente o processo de quantização como a construção de um espaço de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ tal que ao conjunto de magnitudes físicas ou observáveis medíveis no sistema clássico ${\displaystyle f_{i}\,}$ se assinala um conjunto de observáveis quânticos ou operadores auto-adjuntos ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$ tais que:

1. ${\displaystyle (f_{i}+f_{j}){\hat {}}={\hat {f}}_{j}+{\hat {f}}_{j}}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 
2. ${\displaystyle (\lambda f_{i}){\hat {}}=\lambda {\hat {f}}_{j}\qquad \lambda \in \mathbb {R} }$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 
3. ${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}{\hat {}}=-i[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}]}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 
4. ${\displaystyle {\hat {1}}=I_{\mathcal {H}}}$ / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 
5. Os operadores de posição ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$ e seus momentos conjugados ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ atuam irreduzivelmente sobre ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Onde ${\displaystyle I_{\mathcal {H}}}$ é a aplicação identidade sobre o espaço de Hilbert assinado ao sistema, ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ é o parênteses de Poisson e ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ é o comutador de operadores.

Pelo teorema de Stone-von Neumann a condição (5) implica que os graus de libertade de deslocamento nos obrigam a tomar ${\displaystyle {\mathcal {H}}\approx L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ e um operador é multiplicativo e outro derivativo. Assim usam-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas espaciais:

${\displaystyle {\hat {q}}_{i}\psi (q_{i})=q_{i}\psi (q_{i})\qquad {\hat {p}}_{i}\psi (q_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\psi (q_{i})}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Usa-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas de momento conjugado:

${\displaystyle {\hat {p}}_{i}\psi (p_{i})=p_{i}{\tilde {\psi }}(p_{i})\qquad {\hat {q}}_{i}\psi (p_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\tilde {\psi }}(p_{i})}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Sistemas quantizáveis

Um sistema hamiltoniano clássico definido sobre uma variedade simplética ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ se chama quantizável se existe um ${\displaystyle S^{1}}$-fibrado principal ${\displaystyle \pi :{\mathcal {Q_{M}}}\to {\mathcal {M}}}$ 

1. ${\displaystyle \alpha \;}$ é invariante sob a ação de ${\displaystyle S^{1}[\approx U(1)]}$
2. ${\displaystyle \pi ^{*}\omega =d\alpha \;}$

Um resultado recolhido em Steenrod 1951 implica que uma variedade é quantizável se a segunda classe de co-homologia satisfaz certa propriedade:

${\displaystyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ é quantizável se e somente se ${\displaystyle \omega /h\in H^{2}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )}$, 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

ou seja, a integral da forma simplética integrada sobre uma variedade compacta de dimensão 2 é um número inteiro multiplicado pela constante de Planck. É mais naqueles casos em que existe mais de um modo de quantizar um sistema clássico, as diferentes quantizações podem classificar-se de acordo com a forma de ${\displaystyle H^{1}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

e uma 1-forma ${\displaystyle \alpha \;}$ sobre ${\displaystyle {\mathcal {Q_{M}}}}$,/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

 chamada variedade de quantização,